ÜSLÜ İFADELER a ÎR ve n Î N+ olmak üzere, an = a.a.a. ... .a şeklindeki n tane a nın çarpımına, üslü ifadeler denir ve a nın n inci kuvveti şeklinde okunur. Örnekler:
Üslü Sayıların Özellikleri: 1. Sıfırdan farklı bir sayının, sıfırıncı kuvveti 1 dir. Yani, a ¹ 0 iken, a0 = 1 dir. Örnekler:
2. Herhangi bir sayının 1 inci kuvveti, o sayının kendisine eşittir. Yani, a1 = a dır. Örnekler:
3. Tabanları aynı olan iki üslü sayının çarpımı, ortak taban alınıp üslerin toplamı alınarak bulunur. Yani, a m . a n = a m + n dir. Örnekler:
4. Tabanları aynı olan iki üslü sayının bölümü, ortak taban alınıp payın üssünden paydanın üssü çıkarılarak bulunur. Yani,
Örnekler:
5. Üslü bir sayının kuvvetini almak için, taban alınıp üs ile kuvvetin çarpımı üs olarak alınmalıdır. Yani, (a m) n = a m . n dir. Örnekler:
6. Tabanları farklı üsleri aynı olan iki üslü sayının çarpımı, tabanlarının çarpımı yapılıp üs olarak ortak üs alınmalıdır. Yani, a m . b m = (a . b) m dir. Örnekler: 23.53 = (2.5)3 = 103 = 10.10.10 = 1000 3100.5100 = (3.15)100 = 15100 7. Tabanları farklı üsleri aynı olan iki üslü sayının bölümü, önce tabanları bölünüp sonra da üs olarak ortak üs alınarak yapılmalıdır. Yani,
Örnekler:
8. a - m = 1/a m ve 1/a - m = a m dir. Örnekler:
9. (a/b) - m = (b/a) m = b m/a m dir. Örnek:
10. Tabanları ve üsleri aynı olan üslü sayılar, kendi aralarında toplanıp çıkarılabilir. Yani, x.an ± y.an = (x ± y).an dir. Örnekler: 2.57 + 3.57 = (2+3).57 = 5.57 = 51.57 = 51+7 = 58 2.34 + 5.34 - 3.34 = (2+5-3).34 = 4.34 = 4.81 = 324 11. a = b ise, an = bn dir. Örnek: x = 5 ise, x2 = 52 dir. Dolayısıyla, x2 = 25 dir. 12. Bir a sayısı, 0, 1, -1 den farklı olmak üzere, am = an ise, m=n dir. Örnekler: Örnek 1: 25x = 5 ise, x kaçtır? (52)x = 5 Þ 52x = 51 Þ 2x = 1 Þ x = 1/2 olur. Örnek 2: 32x = 8 ise, x kaçtır? (25)x = 23 Þ 25x = 23 Þ 5x = 3 Þ x = 3/5 olur.
Örnek 3: 9x/3 = 27 ise, x kaçtır? 9x = 3.27 Þ 9x = 34 Þ (32)x = 34 Þ 32x = 34 Þ 2x = 4 Þ x = 2 bulunur. 13. an = bn iken, i. n çift sayı ise, a=b veya a= -b dir. ii. n tek sayı ise, a=b dir. Örnek: (x+5)2 = 4 ise, x kaçtır? (x+5)2 = 22 olduğundan, x+5 = 2 veya x+5 = -2 olur. Buradan, x= -3 veya x= -7 bulunur. Örnek: (x-8)3 = 125 ise, x kaçtır? (x-8)3 = 53 olduğundan, x-8 = 5 olur ve buradan x= 13 bulunur. 14. 1 sayısının herhangi bir kuvveti, 1 dir. Yani, 1n = 1 dir. Örnekler: 10=1, 12=1, 1-3, 11/2=1 ÖRNEKLER Örnek 1: 9.(-3)2 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: 9.(-3)2 = 9.(1/(-3)2) = 9.(1/9) = 1 Örnek 2: (-7)23 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: (-7)23 = (-)23.723 = - 723 Örnek 3: (-2)4 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: (-2)4 = (-)4.24 = 24 = 16 Örnek 4:
Çözüm:
Örnek 5: (-4)2 + (-4)2 : 8 = ? Çözüm: (-4)2 + (-4)2 : 8 = 16 +16 : 8 = 16 + 2 = 18 Örnek 6: (-3)15 + 2.(-3)15 = ? Çözüm: (-3)15 + 2.(-3)15 = (1+2).(-3)15 = 3.(-3)15 = 3.(-)15.315 = - 3.315 = 316 Örnek 7: 53 - 25 + 34 = ? Çözüm: 53 - 25 + 34 = 125 - 32 + 81 = 206 - 32 = 174 Örnek 8: (-3)3.32.3-1 = ? Çözüm: (-3)3.32.3-1 = -33.32.3-1 = - 33+2-1 = - 34 = - 81 Örnek 9: (16)1/2 = ? Çözüm: (16)1/2 = (42)1/2 = 41 = 4 Örnek 10: (32)-1/5 = ? Çözüm: (32)-1/5 = (25)-1/5 = 2-1 = 1/2 Örnek 11: 23x-7 = 32 ise, x = ? Çözüm: 23x-7 = 32 Þ 23x-7 = 25 Þ 3x-7 = 5 Þ 3x = 5+7 Þ 3x=12 Þ x=4 Örnek 12: 32x.34 = 27 ise, x = ? Çözüm: 32x.34 = 27 Þ 32x+4=33 Þ 2x+4=3 Þ 2x=3-4 Þ 2x= -1 Þ x= -1/2 Örnek 13: 2x.26 = 8 ise, x kaçtır? Çözüm: 2x.26 = 8 Þ 2x+6=23 Þ x+6=3 Þ x=3-6 Þ x= -3 Örnek 14:
Çözüm: Örnek 15: Çözüm:
Örnek 16: ise, n kaçtır? Çözüm: dır. Buradan, an = a3 tür ve böylece n=3 bulunur. Örnek 17: 3n + 3n+1 + 3n+2 = 13.32n ise, n kaçtır? Çözüm:
Buradan, 3n = 32n bulunur. Her iki taraf 3n ile bölünürse, 32n/3n = 1 olur ve 32n-n = 1 3n = 1 n=0 olur. Örnek 18:
ise, (k+m) toplamı kaçtır? Çözüm:
Örnek 19:
Çözüm:
Örnek 20: 320 - 6.318 = ? Çözüm: 318.32 - 6.318 = 318.(32-6) = 318.3 = 319 Örnek 21: 3x = 2a ve 2x+3 = b ise, 6x in a ve b cinsinden değeri kaçtır? Çözüm: 2x+3 = b Þ 2x.23 = b Þ 2x = b/8 dir. 6x = (2.3)x = 2x.3x = (b/8).2a = (a.b)/4 bulunur. Örnek 22: m, n, p birer tamsayı olmak üzere, 2m + 2n + 2p = 28 ve m > n > p ise, m + 2n -3p = ? Çözüm: 2m + 2n + 2p = 28 ve m > n > p koşulunu sağlayan değerler şunlardır: m = 4, n = 3, p = 2. Böylece, m + 2n -3p = 4 + 2.3 - 3.2 = 4 + 6 - 6 = 4 olur. Örnek 23: 16m = 5 ise, 22m kaç olur? Çözüm: 16m = 5 Þ (24)m = 5 Þ 24m = 5 Þ (24m )1/2 = (5)1/2 Þ 22m = 51/2 bulunur. Örnek 24: Çözüm: Örnek 25: ise, x kaçtır? Çözüm:
Örnek 26: Çözüm: = 4 - 9 + 8 = 12 - 9 = 3 Örnek 27: 2x = 15, 3y = 90, 7z = 30 ise, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? a) x < y < z b) z < x < y c) y < x < z d) x < z < y e) z < y < x Çözüm: 2x = 15 olduğundan, x değeri 3 ile 4 arasındadır. Yani, 3 < x < 4 dür. 3y = 90 olduğundan, y değeri 4 ile 5 arasındadır. Yani, 4 < y < 5 dir. 7z = 30 olduğundan, z değeri 1 ile 2 arasındadır. Yani, 1 < z < 2 dir. Dolayısıyla, z < x < y olmalıdır. Doğru seçenek, b dir. |