ÇOKGENLER
1. Çokgen
Bir düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal
olmayan A1, A2, A3, … gibi n tane (n
³ 3) noktayı ikişer
ikişer birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı şekillere çokgen
denir.
a. İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin
bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen
denir.
b. Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar
doğrularının hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere denir.dışbükey
çokgen
c. Çokgenlerin elemanları
- A, B, C, D, E noktalarına çokgenin köşeleri
denir. Komşu ikiköşeyi birleştiren [AB], [BC], [CD], [DE] ve [EA]
doğruparçaları çokgenin kenarlarıdır.
|
|
- İç bölgede kenarlar arasında oluşan açılara çokgenin
iç açıları denir.
- İç açılara komşu ve bütünler olan açılara çokgenin
dış açıları denir.
- Köşeleri birleştiren kenarlar haricindeki doğru
parçalarına köşegen adı verilir.
2. Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri
a. İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin
n tane kenarı var ise iç açılarının toplamı
Üçgen için (3 – 2) . 180° = 180°
Dörtgen için (4 – 2) . 180° = 360°
Beşgen için (5 – 2) . 180° = 540°
b. Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde,
c. Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey
bir çokgenin
Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir.
- n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir
köşeden köşegenler çizilerek
(n – 2) adet üçgen elde edilebilir.
3. Düzgün Çokgenler
Bütün kenarlarının uzunlukları eşit ve bütün açılarının
ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.
a. şekildeki düzgün altıgende
olduğu gibi düzgün çokgenlerin köşelerinden daima bir çember geçer.
Bu çembere çevrel çember denir. |
|
b. Düzgün çokgenlerde eşit sayıda kenarı birleştiren
köşegenler birbirine eşittir.
|AC|=|AE|=|BD| |AD|=|AD|=||
|
c. Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde
karşılıklı kenarlar paraleldir.
[AF] // [CD], [AB] // [ED]....[AH] // [DE],
[AB] // [FE]...
|
d. Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde
karşı kenara çizilen dik karşı kenarı ortalar. Köşeden kenarın ortasına
çizilen doğru parçası kenara diktir şeklinde de ifade edilir.
e. n kenarlı düzgün bir çokgende
f. Konveks çokgenlerin dış açıları toplamı
360° olduğundan düzgün çokgenin bir dış açısı
4. Düzgün Çokgenin Alanı
a. n kenarlı düzgün çokgenin
bir kenarı a ve içteğet yarıçapı r ise alanı
|
|
b.n kenarlı bir düzgün çokgende
bir kenarı gören merkez açı
|
(Bu açı aynı zamanda dış açıdır)
ve çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı |
|
|
- Düzgün altıgen altı tane eşkenar üçgenden
oluşur.
Bir kenarına a dersek
|
|
- DÖRTGENLERİN GENEL ÖZELLİKLERİ
1. Bir dörtgende komşu iki iç açının
açıortaylarının oluşturduğu açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri
toplamının yarısına eşittir.
|
|
2. Bir dörtgende karşı iki
açının açıortayları arasındaki dar açının ölçüsü diğer iki açının
ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.
|
|
3. Köşegenleri ve köşegenlerinin arasındaki
açısının ölçüsü
bilinen dörtgenin alanı;
ABCD dörtgeninde [AC] ve [BD] köşegen uzunlukları
ile a
biliniyor
|
|
- Köşegenleri birbirine dik olan dörtgenlerde
- (sin 90° = 1 olduğundan)
|
|
- Köşegen doğruları birbirine dik ise
|
|
4. Köşegenleri ve köşegenlerinin
arasındaki açısının ölçüsü bilinen içbükey dörtgenin alanı;
[AC] ve [BD] köşegenleri ile köşegen doğruları
arasındaki a biliniyor ise ABCD içbükey dörtgeninin alanı;
|
|
5. Köşegenleri dik kesişen
dörtgenlerin kenarları arasındaki bağıntı; ABCD
dörtgeninde
[AC] ^ [BD] |
|
Köşegenleri dik olan dörtgenlerin karşılıklı kenarlarının
kareleri toplamı eşittir.
- Köşegenleri dik içbükey dörtgenlerde de karşılıklı
kenarların kareleri toplamı eşittir.
ABCD dörtgeninde
|
|
6. Dörtgenlerde köşegenlerin
ayırdığı alanlar; ABE ve ADE üçgenlerinin
yükseklikleri eşit olduğundan alanlarının oranı tabanlarının oranına
eşittir. |
|
7. Dörtgenlerde kenarların
orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan paralelkenar; ABCD dörtgeninde
kenarların orta noktaları birleştirilerek oluşan KLMN dörtgeni paralelkenardır.
Paralelkenarın alanı dörtgenin alanının yarısına eşittir.
[KL] // [BD] // [MN] ve |KL| = |MN| =
[LM] // [AC] // [KN] ve |LM| = |KN| =
|
|
- Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde, kenarların
orta noktaları birleştirilerek elde edilen dörtgen, dikdörtgendir.
[AC] ^ [BD] ve K, L, M, N kenarların orta noktaları
ise KLMN dikdörtgendir.
|